Prizmalar ders notu

• DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.

[AA'], [BB'], [CC'], [DD'] yanal ayrıtlardır. Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir. Cismin yüksekliğine h dersek h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.

Prizmanın Hacmi

Hacim=Taban Alanı x Yükseklik

Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.

Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik

Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.

Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı

1. Dikdörtgenler Prizması

Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda

Hacim = a.b.c

Alan =2(ab+bc+ac)

Alan = 2 (ab + bc + ac)

Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2

Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2

2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.

Hacim = a2 . h

Yanal Alan = 4 . a . h

Alan = 4.ah + 2.a2

Cisim köşegeni : e = Öa² + a² + h²
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.

Hacim = a3 Alan = 6a2

Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan

Taban alanı
Hacim

Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı

Tüm alan

b. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan

Taban alanı =
Hacim

Taban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr²

Hacim= pr2h

Taban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.

Tüm alan = 2prh+ 2pr

Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.

6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

•  Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,

a'=a.sin a  kadardır.

Buradan;

Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a

Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin a

Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı

Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt

bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.

Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

2. Eğik Silindir

|AA'| = |BB'| = l Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik, h=l.sin a Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin a

Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

• DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.

[AA'], [BB'], [CC'], [DD'] yanal ayrıtlardır. Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir. Cismin yüksekliğine h dersek h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.

Prizmanın Hacmi

Hacim=Taban Alanı x Yükseklik

Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.

Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik

Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.

Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı

1. Dikdörtgenler Prizması

Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda

Hacim = a.b.c

Alan =2(ab+bc+ac)

Alan = 2 (ab + bc + ac)

Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2

Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2

2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.

Hacim = a2 . h

Yanal Alan = 4 . a . h

Alan = 4.ah + 2.a2

Cisim köşegeni : e = Öa² + a² + h²
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.

Hacim = a3 Alan = 6a2

Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan

Taban alanı
Hacim

Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı

Tüm alan

b. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan

Taban alanı =
Hacim

Taban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr²

Hacim= pr2h

Taban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.

Tüm alan = 2prh+ 2pr

Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.

6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

•  Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,

a'=a.sin a  kadardır.

Buradan;

Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a

Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin a

Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı

Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt

bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.

Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

2. Eğik Silindir

|AA'| = |BB'| = l Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik, h=l.sin a Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin a

Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

Küre ders notu

KÜRE Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir. O merkezli R yarıçaplı kürede; Yüzey alanı 1. Küre Dilimi [KL] çap m(AOB) = a şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi 2. Küre Kapağı Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek |OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır. h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan Küre parçasının haçmi

Ekonomi,Kültür ve Toplumsal Değişme Video

Ekonomi,Kültür ve Toplumsal Değişme Video
Bu videomuz da Ekonomi,Kültür ve Toplumsal Değişme, Ekonomi-Kültür ve Toplumsal Değişme Konu Anlatımı Video, Sosyoloji Ekonomi-Kültür ve Toplumsal Değişme Video Konusunu Göreceğiz.

Sosyoloji Siyaset ve Aile Video

Sosyoloji Siyaset ve Aile Video
Bu videomuz da Siyaset ve Aile, Siyaset ve Aile Konu Anlatımı Video, Siyasetin Aile Üzerindeki Etkisi Video, Sosyoloji Siyaset ve Aile Video Konularını Göreceğiz.

Toplumsal Değerler, Normlar Video

Toplumsal Değerler, Normlar Video
Bu videomuz da Toplumsal Değerler, Normlar, Normlar Konu Anlatımı Video, Normlar Video, Toplumsal Değerler Konu Anlatımı Video, Toplumsal Değerler Video Konularını Göreceğiz.

Sosyoloji Toplumsal Yapı Konu Anlatımı Video

Psikoloji Toplumsal Yapı Konu Anlatımı Video
Bu videolarımız da Toplumsal Yapı, Sosyoloji Toplumsal Yapı Konu Anlatımı Video,Sosyoloji Toplumsal Yapı Konu Anlatımı Video, Sosyoloji Üzerindeki Etkisi Video, Toplumsal Yapı Konu Anlatımı Video, Toplumsal Yapı Sosyoloji Video, Toplumsal Yapının Sosyoloji Üzerindeki Etkisi Video Konularını Göreceğiz.

Toplumsal Yapı Video-1

Toplumsal Yapı Video-2

Sosyolojiye Giriş Konu Anlatımı Video

Sosyolojiye Giriş Konu Anlatımı Video

Bu videomuz da Sosyolojiye Giriş, Sosyolojinin Alanı, Sosyolojinin Tanımı, Sosyoloji Konu Anlatımlı Videolar, Sosyoloji Nedir Video, Sosyolojinin Genel Özellikleri Video, Sosyolojinin Tanımı Video, Sosyolojiye Giriş Konu Anlatımı Video, Sosyoloji Nedir ve daha fazlasını videomuz da bulabilirsiniz.

Zeka ve Bireysel Farklılıklar Video

Zeka ve Bireysel Farklılıklar Video
Bu videomuzda Zeka ve Bireysel Farklılıklar, Zeka ve Bireysel Farklılıklar Konu Anlatımı Video, Zeka ve Bireysel Farklılıklar Psikoloji Video, Zeka ve Bireysel Farklılıklar Videolu Anlatım Konusunu Göreceğiz.

Güdülenme, Heyecan, Savunma Mekanizmaları Video

Güdülenme, Heyecan, Savunma Mekanizmaları Video
Bu videomuz da Psikolojide Güdülenme, Heyecan, Savunma Mekanizmaları, Güdülenme- Heyecan-Savunma Mekanizmaları Konu Anlatımı Video, Güdülenme- Heyecan-Savunma Mekanizmaları Konu Anlatımı Video, Psikoloji Konu Anlatımlı Videolar, Psikolojide Güdülenme- Heyecan-Savunma Mekanizmaları Video, Psikolojide Güdülenme- Heyecan-Savunma Mekanizmaları Video Konularını Göreceğiz.


 

Öğrenme, Düşünme, Bellek Video

Öğrenme, Düşünme, Bellek Video
Bu videomuzda Psikolojide Öğrenme, Düşünme, Bellek, Öğrenme-Düşünme-Bellek Konu Anlatımı Video,Öğrenme-Düşünme-Bellek Video, Psikolojide Öğrenme-Düşünme-Bellek Video Konularını Göreceğiz.

 

Psikoloji Organizma ve Çevre Video

Psikoloji Organizma ve Çevre Video
Bu videomuz da Psikolojide Organizma ve Çevre, Organizma ve Çevre Konu Anlatımı Video, Organizma ve Çevre psikoloji Video, Psikolojide Organizma ve Çevre Video, Psikolojide Organizma ve Çevrenin Etkisi Video Göreceğiz.


 

Psikolojiye Giriş Konu Anlatımı Video

Psikolojiye Giriş Konu Anlatımı Video 
Bu videomuzda Psikolojiye Giriş Konu Anlatımı Video, Psikoloji Dersi Video, Psikoloji Konu Anlatımı Video, Psikoloji Konu Anlatımlı Videolar, Psikoloji Nedir Video, Psikolojinin Alanı Video, Psikolojiye Giriş Konu Anlatımı Video, Psikolojinin Alanı, Psikolojinin Tanımı, Psikoloji Nedir ve daha fazlasını videomuzda bulabilirsiniz.


 

Kenarortay ders notu

ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI 1. Ağırlık Merkezi Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir. ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir. a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler. ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır. b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir. d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir. e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. 2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay |AG|=|DC|=|BD| 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler. b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. 4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x |KG| = x |GD| = 2x eşitlikleri bulunur. K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır. [FE] //[BC] 2[FE]=[BC] a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur. b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. 5. Kenarortay Uzunluğu ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğuna Va dersek Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir. Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa 6. Dik Üçgende Kenarortaylar A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında